Ver o código fonte de «Álxebra»

{{1000}}
{{1000 artigos icona título|materia=Matemáticas}}
[[Ficheiro:1983 CPA 5426 (1).png|miniatura|[[Al-Khwarizmi]] (século IX d.&nbsp;C.), considerado un dos «pais da álxebra»]]
[[Ficheiro:Quadratic formula.svg|thumb|A [[Ecuación de segundo grao#Ecuación completa de segundo grao|fórmula cuadrática]] expresa a solución da ecuación {{math|1=''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' = 0}}, onde ''a'' é distinta de cero, en termos dos seus coeficientes {{math|''a'', ''b''}} e ''c''.]]
A '''álxebra''' (do [[lingua árabe|árabe]]: الجبر ''al-ŷabr'' ‘reintegración, recomposición<ref>Federico Corriente (1991): ''Diccionario Árabe-Español'', Ed. Herder, ISBN 84-254-1763-5</ref> e obtención de datos<ref name="Sin-nombre-p1-E-1">{{Cita libro|url=https://books.google.com/books?id=3mlQDwAAQBAJ&q=bonesetting+algebra&pg=PA722|title=Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment|last1=Menini|first1=Claudia|last2=Oystaeyen|first2=Freddy Van|data=2017-11-22|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4822-5817-2|language=en|data-acceso=19 de decembro do 2023|archive-date=2021-02-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20210221075950/https://books.google.com/books?id=3mlQDwAAQBAJ&q=bonesetting+algebra&pg=PA722}}</ref>) é a rama da [[Matemáticas|matemática]] que estuda a combinación de elementos de estruturas abstractas acorde a certas regras.<ref name=oed>{{cita web|title=algebra|url=http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/english/algebra|work=Oxford English Dictionary|publisher=Oxford University Press|data-acceso=19 de decembro do 2023|archive-date=2013-12-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20131231173558/http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/english/algebra}}</ref> Orixinalmente eses elementos podían ser interpretados como números ou cantidades, polo que a álxebra en certo xeito foi orixinalmente unha xeneralización e extensión da [[aritmética]].<ref>The 1911 Classic Encyclopedia, ''[https://web.archive.org/web/20090125122215/http://1911encyclopedia.org/Algebra Algebra]'', (en inglés).</ref><ref>Diccionario de la Real Academia Española, ''[http://lema.rae.es/drae/?val=%C3%A1lgebra álgebra]''.</ref> Na álxebra moderna existen áreas da álxebra que de ningún xeito poden considerarse extensións da aritmética ([[álxebra abstracta]], [[álxebra homolóxica]], [[álxebra exterior]] etc.).

A álxebra elemental difire da [[aritmética]] no uso de abstraccións, como o emprego de letras para representar números que son descoñecidos ou que poden tomar moitos valores. Por exemplo, en <math>x + 2 = 5</math> a letra <math>x</math> é unha incógnita, pero aplicando o [[elemento inverso|oposto]] pódese revelar o seu valor: <math>x=3</math>. En <math>E = mc^2 \,</math>, as letras <math>E</math> e <math>m</math> son variables, e a letra <math>c</math> é unha [[Constante (matemáticas)|constante]], a [[velocidade da luz]] no baleiro. A álxebra proporciona métodos para escribir fórmulas e resolver ecuacións que son moito máis claras e fáciles que o antigo método de escribir todo con palabras.

A palabra ''álxebra'' tamén se utiliza en certas formas especializadas. Un tipo especial de obxecto matemático na álxebra abstracta chámase ''álxebra'', e a palabra úsase, por exemplo, nas frases [[álxebra lineal]] e [[topoloxía alxébrica]].

[[Ficheiro:Algebraic equation notation.svg|miniatura|Notación nunha expresión alxébrica:<br/>&nbsp; 1 – potencia (expoñente)<br/>&nbsp; 2 – coeficiente<br/>&nbsp; 3 – termo<br/>&nbsp; 4 – operador<br/>&nbsp; 5 – termo constante ou independente<br/>&nbsp; ''x'' ''y'' – variables/incógnitas]]
Xunto coa [[xeometría]] e a [[análise matemática]], a '''álxebra''' constitúe unha das ramas principais da [[matemáticas|matemática]].

Antigamente por '''álxebra''' entendíase a serie de coñecementos teóricos e de técnicas nas que se empregan as operacións elementais da [[aritmética]] para atopar valores numéricos que solucionen unha [[ecuación]] matemática, na que os [[número]]s descoñecidos son representados por letras. Isto é o que hoxe en día se coñece como [[álxebra elemental]], que inclúe tamén o estudo dos [[polinomio]]s e o das súas [[Raíz dunha función|raíces]].

Co tempo a [[álxebra elemental]] deu lugar a desenvolvementos máis complexos no que se deu en chamar [[álxebra abstracta]] ou [[álxebra moderna]]. A xeneralización ven da man da definición de distintos tipos de [[estrutura alxébrica|estruturas alxébricas]], isto son, conxuntos de elementos non necesariamente de tipo numérico, nos que se definen operacións con propiedades inspiradas nas das operacións elementais de números. Así pois, poderíase dicir que a '''álxebra''' é a rama da [[matemática]] que estuda as propiedades das [[Estrutura alxébrica|estruturas]].

== Etimoloxía ==
O termo '''álxebra''' deriva da obra ''{{unicode|Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala}}'' ou ''Al-jabr wa 'l-muqābala'', isto é, ''Compendio do cálculo mediante restitución e redución'' (ou "Ensaio da Computación de Transferencia e da Ecuación"), que foi traducido ao latín coma ''Liber algebrae et almucabala''. O texto foi escrito no [[século IX]] polo matemático persa [[Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi]]. Os cristiáns introduciron este libro en [[Europa]] traducido ao [[lingua latina|latín]] no [[século XII]]. O termo álxebra é a tradución literal de ''restitución'' (transferencia da solución numérica no lugar das letras da ecuación) feita polos tradutores ao latín da obra.<ref name=oed/>
== Clasificación ==

Podemos dividir a '''álxebra''' en:
* '''[[Álxebra elemental]]''': estuda as regras que gobernan as [[ecuación]]s nas que se empregan símbolos abstractos para denotar cantidades numéricas, e a resolución de problemas polo emprego destes símbolos e regras. 
* '''[[Álxebra abstracta]]''': tamén chamada '''álxebra moderna'''. Estuda [[estrutura alxébrica|estruturas alxébricas]] definidas axiomaticamente, como os [[Grupo (matemáticas)|grupos]], [[anel|aneis]] ou [[espazo vectorial|espazos vectoriais]]. Nela inclúense entre outras:
** '''[[Álxebra lineal]]''': estuda as propiedades dos [[espazo vectorial|espazos vectoriais]] e as [[Matriz (matemáticas)|matrices]].
** '''[[Álxebra universal]]''': estuda as propiedades comúns a grandes familias de [[estrutura alxébrica|estruturas alxébricas]].

== Álxebra elemental ==

Na '''álxebra elemental''', a adición, a subtracción, a multiplicación, e a división son utilizadas para encontrar números (valores dunha variable) nun problema de matemáticas (ecuación) cando non se coñecen.

:Un exemplo sería encontrar o valor de '''<math>x</math>''' (a variable) na ecuación: <math>x - 5 = 2</math>.

:Coa axuda da álxebra, pódese sumar cinco a ámbolos dous membros da ecuación (<math>x - 5 + 5 = 2 + 5</math>), polo que a resposta é: <math>x = 7</math>. 
Noutras palabras: 
:No primeiro membro: <math>x - 5 + 5</math>. O número -5 e o número 5 suman 0, deixando polo tanto só un "<math>x</math>". 
:No segundo membro: <math>2 + 5</math>. O 2 e o 5 suman 7. 
:Reescribindo a ecuación: 
:<math>x - 0 = 7</math>, 
:e polo tanto a solución é <math>x = 7</math>
:<math>7 - 5 = 2</math>.

A álxebra pode ser utilizada para resolver problemas da vida real porque as regras da álxebra funcionan no mundo real e os números poden ser utilizados para representar fielmente os valores das cousas reais.

:Por exemplo, se dou 5 moedas a un amigo e quédanme 10, cantas tiña antes? Como intentamos descubrir cantas moedas tiven antes, a esa cantidade chamámoslle ''x''. As moedas que eu tiven antes menos as que eu lle dei ao meu amigo fan o total das que eu teño agora, logo <math>x - 5 = 10</math>. Podemos sumar cinco en cada membro da ecuación para obter <math>x - 5 + 5= 10 + 5</math>; logo <math>x = 15</math>. O ''x'', o número de moedas que eu tiven é 15.

=== Notación na álxebra elemental ===
Na álxebra, a adición de ''z'' e ''y'' (ou ''z'' mais ''y'') escríbese <math>y + z</math>. 
Na álxebra, a subtracción de ''z'' a ''y'' (ou ''y'' menos ''z'') escríbese <math>y - z</math>.

Na álxebra, a multiplicación de ''y'' por ''z'' (ou ''y'' veces ''z'') pódese escribir de 4 maneiras diferentes: y × z, ''y''*''z'', ''y''(''z''), ou ''yz'', sendo esta última a forma máis común.

Cando multiplicamos un número por unha letra, o número escríbese diante da letra.

Cando o número é o 1, entón non se escribe porque 1 multiplicado por unha cousa calquera é esa mesma cousa.

En álxebra, a división: ''y'' dividido por ''z'' escríbese ''y'' */* ''z'' ou ''y''/''z''. Esta última forma é a máis empregada.

=== Representacións gráficas na álxebra elemental ===
Na álxebra elemental tamén é útil o uso de [[gráfica dunha función|gráficas]], como a da fórmula básica da [[recta]] ''y''=''mx''+''b'' onde ''b'' é o valor no que a [[recta]] corta o [[eixo de ordenadas]] da gráfica e ''m'' é a [[pendente (matemática)|pendente]] da [[recta]]. Esta fórmula verifícase para ás coordenadas do [[grafo]] ou [[par ordenado|pares ordenados]] (''x'',''y'').

== Historia ==
A finais do século XVI, nas matemáticas, o significado de ''álxebra'' evolucionou tras a introdución por [[François Viète]] de símbolos ([[Variábel|variables]]) para denotar números descoñecidos ou incompletamente especificados, e o uso resultante da [[notación matemática]] para ecuacións e [[Fórmula (expresión)|fórmulas]]. Así, a álxebra converteuse esencialmente no estudo da acción de [[Operación (matemáticas)|operacións]] sobre [[Fórmula (expresión)|expresións]] que implican variables. Isto inclúe a teoría de ecuacións, pero non se limita a ela, xa en 1637, [[René Descartes]] publicou ''[[La Géométrie]]'', creando a álxebra analítica e introducindo a notación moderna. A busca das solucións de ecuacións de grao superior a tres desenvolveu a idea de [[Determinante (matemáticas)|determinante]], introducida de xeito independente por matemáticos xaponeses e por [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]] no século XVII. A resolución de ecuacións tamén foi a base para o desenvolvemento da teoría de permutacións por parte de [[Joseph Louis Lagrange]] e [[Paolo Ruffini]].

A álxebra abstracta foi desenvolvida no século XIX, grazas ao estudo da [[teoría de Galois]].<ref>"[http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/history.html The Origins of Abstract Algebra]". University of Hawaii Mathematics Department.</ref> [[Josiah Willard Gibbs]] desenvolveu a álxebra de vectores no espazo tridimensional e [[Arthur Cayley]] a álxebra de [[Matriz (matemáticas)|matrices]], que non é conmutativa.<ref>"[http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?ISBN=9781108005043 The Collected Mathematical Papers]".Cambridge University Press.</ref>

A principios do século XX, a álxebra evolucionou aínda máis ao considerar operacións que actuaban non só sobre números, senón tamén sobre elementos das chamadas [[estrutura matemática|estruturas matemáticas]] como [[grupo (matemáticas)|grupos]], [[Corpo (álxebra)|campos]] e [[espazos vectoriais]]. Esta nova álxebra denominouse ''álxebra das operacións''. Esta nova álxebra foi chamada ''[[Moderne Algebra]]'' (''álxebra moderna'') por [[Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] no seu tratado homónimo, cuxo nome foi cambiado a ''Álxebra'' en edicións posteriores.
=== Historia antiga ===
[[Ficheiro:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|miniatura|upright|Páxina da obra de [[Al-Khwarizmi]] ''[[Compendio do cálculo mediante restitución e redución]] (''al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala'')]]

As raíces da álxebra remóntanse os antigos [[Matemáticas babilónicas|babilonios]],<ref>{{cita libro |last=Struik |first=Dirk J. |ano=1987 |title=A Concise History of Mathematics |location=New York |publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-60255-4 |url=https://archive.org/details/concisehistoryof0000stru_m6j1 }}</ref> que desenvolveron un [[sistema de numeración]] posicional co que lograron realizar cálculos avanzados mediante [[algoritmo]]s. Os babilonios desenvolveron fórmulas para calcular solucións a problemas que hoxe en día se resolven mediante [[Ecuación linear|ecuacións lineais]], [[Ecuación de segundo grao|ecuacións cuadráticas]] e [[Ecuación indeterminada|ecuacións lineais indeterminadas]]. Pola contra, a maioría dos [[Matemáticas do Antigo Exipto|exipcios]] desta época, así como os [[Matemáticas gregas|gregos]] e [[Matemáticas chinesas|chinos]] do primeiro milenio a.C., adoitaban resolver tales ecuacións mediante métodos xeométricos, como os descritos no ''[[Papiro de Rhind|papiro matemático de Rhind]]'', nos [[elementos de Euclides]], e ''[[Jiuzhang Suanshu|os nove capítulos sobre a arte matemática]]''. Na época de [[Platón]], as matemáticas gregas sufriron un cambio drástico. Os gregos crearon un [[Historia da álxebra|álxebra xeométrica]] na que os termos se representaban mediante lados de obxectos xeométricos, normalmente liñas, que tiñan letras asociadas.
<ref name=citeboyer>See {{harvnb|Boyer|1991}}, ''Europe in the Middle Ages'', p. 258: "Nos teoremas aritméticos dos ''Elementos'' VII-IX de Euclides, os números representáronse mediante segmentos de liña aos que se uniron letras, e as demostracións xeométricas da ''Álxebra'' de Al-Khwarizmi facían uso de diagramas con letras; pero todos os coeficientes das ecuacións utilizadas na ''Álxebra'' son números específicos, xa estean representados por números ou escritos con palabras. A idea de xeneralidade está implícita na exposición da Al-Khwarizmi, pero el non tiña ningún esquema para expresar alxebricamente as proposicións xerais que están tan facilmente dispoñibles en xeometría."</ref> [[Diofanto de Alexandría|Diofanto]] (século III d.C.) foi un matemático grego de [[Alexandría]] e autor dunha serie de libros chamados ''[[Arithmetica]]''.<ref>{{cita libro|ligazón-autor=Florian Cajori |nome=Florian |apelidos=Cajori |data=2010 |url=https://books.google.com/?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34&dq#v=onepage&q=&f=false |título=A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching |páxina=34 |isbn=1-4460-2221-8 }}</ref> Estes textos tratan da resolución de [[Ecuación alxébrica|ecuacións alxébricas]],<ref>{{cita libro |author-link=Florian Cajori |first=Florian |last=Cajori |year=2010 |url=https://books.google.com/books?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34 |title=A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching |páxina=34 |publisher=Read Books Design |isbn=978-1-4460-2221-4 |data-acceso=22 de decembro do 2023 |archive-date=2021-02-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210221075950/https://books.google.com/books?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34 }}</ref> e conduciron, en [[teoría de números]], á noción moderna da [[ecuación diofantiana]].

O traballo xeométrico dos gregos, tipificado nos ''Elementos'', proporcionou o marco para a xeneralización de fórmulas máis aló da solución de problemas particulares en sistemas máis xerais de formulación e resolución de ecuacións, aínda que isto non se levaría a cabo ata as [[Matemática islámica| desenvolvidas no islam medieval]].<ref>See {{harvnb|Boyer|1991}}.</ref>

A palabra deriva da palabra árabe ''al-jabr'' que aparece no título do tratado ''[[Compendio de cálculo por reintegración e comparación]]'' (do árabe: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala), escrito cara ao ano 820 polo persa [[Al-Khwarizmi]], quen converteu a álxebra nunha disciplina independente da xeometría e da [[aritmética]].<ref>{{cita publicación periódica|título=Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra|apelidos=Roshdi |nome=Rashed|editorial=[[Saqi Books]]|data=novembro de 2009|isbn=0-86356-430-5|ref=harv}}</ref>

Al-jabr'' referíase a un método para transformar [[ecuación]]s restando [[Monomio|termos semellantes]] de ambos os lados, ou pasando un termo dun lado ao outro, despois de cambiar o seu signo. Por tanto, ''álxebra'' referíase orixinalmente á manipulación de ecuacións e, por extensión, á [[teoría de ecuacións]]. Isto é aínda o que os historiadores das matemáticas xeralmente entenden polo termo ''álxebra''.{{citation needed|date=July 2022}}

Os matemáticos [[Período helenístico|helenístico]] [[Herón de Alexandría]] e Diofanto<ref>{{cita web|url=http://library.thinkquest.org/25672/diiophan.htm |title=Diophantus, Father of Algebra |data-acceso=22 de decembro do 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130727040815/http://library.thinkquest.org/25672/diiophan.htm |archive-date=2013-07-27}}</ref> e os [[Matemáticas indias|matemáticos indios]] como [[Brahmagupta]], continuaron as tradicións de Exipto e Babilonia, aínda que a ''Arithmetica'' de Diofanto e a ''[[Brāhmasphuṭasiddhānta]]'' de Brahmagupta atópanse nun nivel superior.<ref>{{cita web|url=http://www.algebra.com/algebra/about/history/|title=History of Algebra|data-acceso=22 de decembro do 2023|archive-date=2014-11-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20141111040653/http://www.algebra.com/algebra/about/history/}}</ref> Por exemplo, a primeira solución aritmética completa escrita con palabras no canto de símbolos,<ref>{{Cita libro |last=Mackenzie |first=Dana |url=https://www.worldcat.org/oclc/761851013 |title=The universe in zero words : the story of mathematics as told through equations |data=2012 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-15282-0 |location=Princeton, N.J. |páxinas=61 |oclc=761851013}}</ref> Brahmagupta describiu no seu libro ''Brahmasphutasiddhanta'', publicado no ano 628 d.C., as solucións cero e negativas das ecuacións cuadráticas.<ref name="Bradley">{{Cita libro |last=Bradley |first=Michael J. |url=https://www.worldcat.org/oclc/465077937 |title=The birth of mathematics : ancient times to 1300 |data=2006 |publisher=Chelsea House |isbn=978-0-7910-9723-6 |location=New York |páxina=86 |oclc=465077937}}</ref> Posteriormente, os matemáticos persas e [[árabes]] desenvolveron métodos alxébricos ata un grao de sofisticación moito maior. Aínda que Diofanto e os babilonios utilizaron sobre todo métodos especiais ''ad hoc'' para resolver ecuacións, a contribución da Al-Khwarizmi foi fundamental. Resolveu ecuacións lineais e cuadráticas sen simboloxía alxebrica, [[número negativo|números negativos]] ou [[cero]], polo que tivo que distinguir varios tipos de ecuacións.<ref name="Meri2004">{{cita libro|first=Josef W.|last=Meri|title=Medieval Islamic Civilization|url=https://books.google.com/books?id=H-k9oc9xsuAC&pg=PA31|data-acceso=22 de decembro do 2023|ano=2004|publisher=Psychology Press|isbn=978-0-415-96690-0|páxina=31|archive-date=2013-06-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20130602195207/http://books.google.com/books?id=H-k9oc9xsuAC&pg=PA31}}</ref>

No contexto no que a álxebra se identifica coa [[teoría de ecuacións]], o matemático grego Diofanto foi coñecido tradicionalmente como o "pai da álxebra" e no contexto no que se identifica con regras para manipular e resolver ecuacións, o matemático persa Al-Khwarizmi é considerado como "o pai da álxebra".<ref>{{Cita libro|last=Corona|first=Brezina|title=Al-Khwarizmi: The Inventor Of Algebra|url=https://archive.org/details/alkhwarizmiinven0000brez|publisher=Rosen Pub Group|data= 2006|isbn=978-1404205130|location=New York, United States}}</ref><ref>See {{harvnb|Boyer|1991}}, páxina 181: "Se pensamos principalmente na cuestión das notacións, Diofanto ten boas razóns para ser coñecido como o "pai da álxebra", pero en termos de motivación e concepto, a afirmación é menos apropiada. A Arithmetica non é unha exposición sistemática das operacións algebraicas, das funcións alxébricas ou da solución de ecuacións alxébricas.".</ref><ref>See {{harvnb|Boyer|1991}}, páxina 230: "Os seis casos de ecuacións dados anteriormente esgotan todas as posibilidades de ecuacións lineais e cuadráticas... Neste sentido, pois, Al-Khwarizmi ten dereito a ser coñecido como 'o pai da álxebra '".</ref><ref>See {{harvnb|Boyer|1991}}, páxina 228: "Ás veces chámase a Diofanto o pai da álxebra, pero este título pertence máis ben á Al-Khwarizmi".</ref><ref name="Gandz">See {{harvnb|Gandz|1936}}, pp. 263–277: "En certo sentido, Al-Khwarizmi ten máis dereito a ser chamado "o pai da álxebra" que Diofanto, porque ao-Khwarizmi é o primeiro en ensinar o álxebra de forma elemental e pola súa propio ben, Diofanto ocúpase principalmente da teoría dos números"..</ref><ref>{{Cita xornal |last=Christianidis |first=Jean |data=agosto de 2007 |title=The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus' method of solution|journal=[[Historia Mathematica]]|volume=34|issue=3|páxina=289–305|cita=É certo que se se parte dunha concepción do álxebra que pon o acento na solución de ecuacións, como foi xeralmente o caso dos matemáticos árabes desde Al-Khwarizmi en diante, así como dos alxebristas italianos do Renacemento, entón a obra de Diofanto parece efectivamente moi diferente das obras deses algebristas|doi=10.1016/j.hm.2006.10.003}}</ref><ref>{{cita xornal |first=G. C. |last= Cifoletti |title= La question de l'algèbre: Mathématiques et rhétorique des homes de droit dans la France du 16e siècle |xornal= Annales de l'École des Hautes Études en Sciences Sociales, 50 (6)|ano= 1995 |páxinas= 1385–1416 |cita= Os traballos dos árabes e os seus sucesores centráronse na resolución de problemas. A Arithmetica de Diofantino centrouse na teoría de ecuacións.}}</ref> Pódese debater se Diofanto ou ao-Khwarizmi teñen máis dereito a ser coñecidos, en sentido xeral, como "o pai da álxebra". Os partidarios de Diofanto sinalan que o álxebra de ''Al-Jabr'' é algo máis elemental que a de ''Arithmetica'' e que ''Arithmetica'' é sincopada, mentres que ''Al-Jabr'' é totalmente retórica.<ref>Véxase {{harvnb|Boyer|1991}}, páxina 228.</ref> Quen apoia á o-Khwarizmi sinalan que introduciu os métodos de "[[Redución (matemáticas)|redución]]" e "equilibrado" (a transposición de termos restados alén dunha ecuación, é dicir, a cancelación de [[Monomio|termos semellantes]] en lados opostos da ecuación) aos que orixinalmente se refería o termo ''al-jabr'',<ref name=Boyer-229>Véxase {{harvnb|Boyer|1991}}, ''The Arabic Hegemony'', p. 229: "Non se sabe con certeza que significan os termos ''al-jabr'' e ''muqabalah'', pero a interpretación habitual é similar á implícita na tradución anterior. A palabra ''al-jabr'' significaba presumiblemente algo así como "restauración" ou "terminación" e parece referirse á transposición de termos subtraídos alén dunha ecuación; a palabra ''muqabalah'' refírese a "redución" ou "equilibrio", é dicir, á cancelación de termos similares en lados opostos da ecuación".</ref> e que deu unha explicación exhaustiva da resolución de ecuacións cuadráticas,<ref>See {{harvnb|Boyer|1991}}, ''The Arabic Hegemony'', p. 230: "Os seis casos de ecuacións expostos esgotan todas as posibilidades de ecuacións lineais e cuadráticas con raíz positiva. A exposición da Al-Khwarizmi foi tan sistemática e exhaustiva que os seus lectores non deberon de ter moitas dificultades para dominar as solucións".</ref> apoiándose en probas xeométricas e tratando ao mesmo tempo o álxebra como unha disciplina independente por dereito propio..<ref name="Gandz"/> Ademais, a súa álxebra xa non se ocupaba "dunha serie de problemas por resolver, senón dunha [[Escritura expositiva|exposición]] que parte de termos primitivos cuxas combinacións deben dar todos os prototipos posibles de ecuacións, que en diante constitúen explicitamente o verdadeiro obxecto de estudo". Tamén estudou unha ecuación por si mesma e "de maneira xenérica, na medida en que non xorde simplemente no curso da resolución dun problema, senón que está chamada especificamente a definir unha clase infinita de problemas".<ref name=Rashed-Armstrong>{{Cita libro |last1= Rashed |first1= R. |last2= Armstrong |first2= Angela |year= 1994 |title= The Development of Arabic Mathematics |publisher= [[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn= 978-0-7923-2565-9 |oclc= 29181926 |páxinas= 11–12}}</ref>

Segundo Jeffrey Oaks e Jean Christianidis, nin Diofanto nin Ao-Khwarizmi deberían chamarse "pai da álxebra".<ref>{{Cita libro |last=Oaks |first=Jeffrey |title=The Oxford Encyclopedia of Islam and Philosophy, Science, and Technology |year=2014 |páxinas=458}}</ref><ref>{{Cita xornal |last=Christianidis |first=Jean |year=2007 |title=The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus' method of solution |journal=Historia Mathematica |volume=34 |issue=3 |páxinas=303 |doi=10.1016/j.hm.2006.10.003}}</ref> O álxebra premoderna foi desenvolvida e utilizada por comerciantes e agrimensores como parte do que [[Jens Høyrup]] denominou tradición "subcientífica". Diofanto utilizou este método de álxebra no seu libro, en particular para problemas indeterminados, mentres que Ao-Khwarizmi escribiu un dos primeiros libros en árabe sobre este método.<ref name=":0">{{Cita xornal |last1=Oaks |first1=Jeffrey |last2=Christianidis |first2=Jean |year=2013 |title=Practicing algebra in late antiquity: The problem-solving of Diophantus of Alexandria |xornal=Historia Mathematica |volume=40 |issue=2 |páxinas=158–160 |doi=10.1016/j.hm.2012.09.001}}</ref>

A outro matemático persa [[Omar Khayyam]] atribúeselle a identificación dos fundamentos da [[xeometría alxebrica]] e o achado da solución xeométrica xeral da [[ecuación cúbica]]. O seu libro ''Tratado sobre as demostracións dos problemas de álxebra'' (1070), que establece os principios do álxebra, forma parte do corpus das matemáticas persas que acabaron transmitíndose a Europa.<ref>{{Cita libro|title=Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers |páxina= 92}}</ref> Outro matemático persa, [[Sharaf al-Dīn al-Tūsī]], atopou solucións alxébricas e numéricas a varios casos de ecuacións cúbicas.<ref>{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}</ref> Tamén desenvolveu o concepto de [[función]].<ref>{{Cita xornal|last1=Victor J. Katz|first1=Bill Barton|title=Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching|journal=Educational Studies in Mathematics|volume=66|issue=2|data=outubro de 2007|doi=10.1007/s10649-006-9023-7|páxinas=185–201 [192]|last2=Barton|first2=Bill}}</ref> Os matemáticos indios [[Mahavira (matemático)|Mahavira]] e [[Bhaskara II]], o matemático persa [[Al-Karaji]],<ref name="Boyer al-Karkhi ax2n">See {{harvnb|Boyer|1991}}, ''The Arabic Hegemony'', p. 239: "Abu'l Wefa era un alxebrista capaz así como un trigonometro.&nbsp;... O seu sucesor al-Karkhi evidentemente utilizou esta tradución para converterse en discípulo árabe de Diofanto - pero sen análise diofantino!&nbsp;. En particular, atribúese á al-Karkhi a primeira solución numérica de ecuacións da forma ax<sup>2n</sup> + bx<sup>n</sup> = c (só se consideraron as ecuacións con raíces positivas),"</ref> e o matemático chinés [[Zhu Shijie]], resolveron varios casos de ecuacións cúbicas, [[ecuación cuártica|cuártica]], [[ecuación quíntica|quintica]] e [[polinómicas]] de orde superior utilizando métodos numéricos. No século XIII, a solución dunha ecuación cúbica por [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]] é representativa do comezo dun renacemento do álxebra europea. [[Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī]] (1412-1486) deu "os primeiros pasos cara á introdución do simbolismo alxébrico". Tamén calculou Σ''n''<sup>2</sup>, Σ''n''<sup>3</sup> e utilizou o método de aproximación sucesiva para determinar as raíces cadradas.<ref>{{Cita web|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Qalasadi.html|title=Al-Qalasadi biography|website=www-history.mcs.st-andrews.ac.uk|data-acceso=22 de decembro do 2023|archive-date=2019-10-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20191026001749/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Qalasadi.html}}</ref>

O uso da palabra "álxebra" para designar unha parte das matemáticas data probablemente do século XVI.
{{citation needed}}
=== Historia moderna ===
[[Ficheiro:Gerolamo Cardano (colour).jpg|miniatura|upright=0.8|O matemático italiano [[Gerolamo Cardano]] publicou as solucións as ecuacións [[Ecuación de terceiro grao|cúbica]] e á [[Ecuación de cuarto grao|cuártica]] no seu libro de 1545 ''[[Ars magna]]''.]]

Os traballos de [[François Viète]] sobre o [[François_Viète#Obra|álxebra nova]] a finais do século XVI constituíron un paso importante cara a álxebra moderna. En 1637, [[René Descartes]] publicou ''[[La Géométrie]]'', inventando a [[xeometría analítica]] e introducindo a notación alxebrica moderna. Outro acontecemento clave no desenvolvemento posterior da álxebra foi a solución alxebrica xeral das ecuacións cúbicas e cuárticas, desenvolta a mediados do século XVI. A idea dun [[Determinante (matemáticas)|determinante]] foi desenvolta polo [[Wasan|matemático xaponés]] [[Seki Takakazu|Seki Kōwa]] no século XVII, seguida independentemente por [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]] dez anos máis tarde, co propósito de resolver sistemas de ecuacións lineais simultáneas utilizando [[matriz (matemáticas)|matrices]]. [[Gabriel Cramer]] tamén realizou algúns traballos sobre matrices e determinantes no século XVIII. As permutacións foron estudadas por [[Joseph Louis Lagrange]] no seu traballo de 1770 "''Réflexions sur la résolution algébrique des équations''" dedicado ás solucións de ecuacións alxebricas, no que introduciu os [[Resolventes (teoría de Galois)|resolventes de Lagrange]]. [[Paolo Ruffini]] foi o primeiro en desenvolver a teoría de [[grupo de permutación]]s, e como os seus predecesores, tamén no contexto da resolución de ecuacións alxebricas.

A [[álxebra abstracta]] desenvolveuse no século XIX, derivado do interese por resolver ecuacións, centrándose inicialmente no que hoxe se denomina [[teoría de Galois]], e en cuestións de [[número construible|constructibilidade]].<ref>"[http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/history.html The Origins of Abstract Algebra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100611091009/http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/history.html |date=2010-06-11 }}". University of Hawaii Mathematics Department.</ref> [[George Peacock (matemático)|George Peacock]] foi o fundador do pensamento axiomático en aritmética e álxebra. [[Augustus De Morgan]] descubriu a [[álxebra relacional]] no seu ''Syllabus of a Proposed System of Logic''. [[Josiah Willard Gibbs]] desenvolveu unha álxebra de vectores no espazo tridimensional, e [[Arthur Cayley]] desenvolveu unha álxebra de matrices (trátase dunha álxebra non conmutativa).<ref>"[http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?ISBN=978-1108005043 The Collected Mathematical Papers]". Cambridge University Press.</ref>

== Áreas das matemáticas coa palabra álxebra no seu nome ==
[[Ficheiro:Mathematics lecture at the Helsinki University of Technology.jpg|miniatura|upright|[[Álxebra lineal]] conferencia na [[Universidade de Aalto]]]]

Algunhas subáreas da álxebra levan a palabra álxebra no seu nome; [[álxebra lineal]] é un exemplo. Outras non: [[teoría de grupos]], [[teoría de aneis]] e [[Corpo (álxebra)|teoría de corpos]] son exemplos. Nesta sección, enumeramos algunhas áreas das matemáticas coa palabra "álxebra" no nome.
* [[Álxebra elemental]], a parte da álxebra que adoita ensinarse nos cursos elementais de matemáticas.
* [[Álxebra abstracta]], na que as [[estrutura alxébrica|estruturas alxébricas]] como [[grupo (matemáticas)|grupos]], [[anel (álxebra)|aneis]] e [[Corpo (álxebra)|corpos]] defínense e investiganse [[Sistema axiomático|axiomáticamente]].
* [[Álxebra lineal]], na que se estudan as propiedades específicas das [[Ecuación linear|ecuacións lineais]], os [[Espazo vectorial|espazos vectoriais]] e as [[Matriz (matemáticas)|matrices]].
* [[Álxebra de Boole]], unha rama da álxebra que abstrae o cálculo cos [[valores da verdade]] ''falso'' e ''verdadeiro''.
* [[Álxebra conmutativa]], o estudo dos [[Anel conmutativo|aneis conmutativos]].
* [[Sistema alxébrico computacional|Álxebra computacional]], a implementación de métodos alxébricos como [[algoritmo]]s e [[Programa informático|programas de computador]].
* [[Álxebra homolóxica]], o estudo das estruturas alxébricas fundamentais para o estudo dos [[Espazo topolóxico|espazos topolóxicos]].
* [[Álxebra universal]], na que se estudan propiedades comúns a todas as estruturas alxébricas.
* [[Teoría de números alxébricos]], na que se estudan as propiedades dos números desde un punto de vista alxébrico.
* [[Xeometría alxébrica]], unha rama da xeometría, que na súa forma primitiva especifica as curvas e superficies como solucións de ecuacións polinómicas.
* [[Combinatoria alxébrica]], na que se utilizan métodos alxébricos para estudar cuestións combinatorias.
* [[Álxebra relacional]]: conxunto de relacións finitas que son pechadas baixo certos operadores.

Moitas estruturas matemáticas chámanse '''álxebras''':

* [[Álxebra sobre un corpo]] ou máis xeralmente [[Álxebra sobre un corpo|álxebra sobre un anel]].<br />Moitas clases de álxebras sobre un corpo ou sobre un anel teñen un nome específico:
** [[Álxebra asociativa]]
** [[Álxebra non asociativa]]
** [[Álxebra de Lie]]
** [[Álxebra de Hopf]]
** [[C-álxebra]]
** [[Álxebra simétrica]]
** [[Álxebra exterior]]
** [[Álxebra tensorial]]
* En [[teoría da medida]],
** [[σ-álxebra]]
** [[Álxebra de conxuntos]]
* En [[teoría das categorías]]
** [[Álxebra F]] e [[co-álxebra F]]
** [[Mónada (teoría de categorías)|Álxebra T]]
* En [[lóxica]],
** [[Álxebra de relación]], unha álxebra de Boole residual expandida cunha relación inversa.
** [[Álxebra de Boole]], caso particular dunha [[retícula distributiva]].
** [[Álxebra de Heyting]]
== Notación alxébrica ==
[[Ficheiro:Racine carrée bleue.svg|miniatura|upright|[[Notación matemática]] de [[raíz cadrada]] de ''x'']]
Consiste en que os [[números]] empréganse para representar cantidades coñecidas e determinadas.
As letras empréganse para representar toda clase de cantidades, xa sexan coñecidas ou descoñecidas.
As cantidades coñecidas exprésanse polas primeiras [[letra]]s do alfabeto: ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', …
As cantidades descoñecidas represéntanse polas últimas [[letra]]s do [[alfabeto]]: ''u'', ''v'', ''w'', ''x'', ''y'', ''z''.<ref name="Aurelio">''Álgebra'' Aurelio Baldor (2003)</ref>

Os [[signo]]s empregados en álxebra son de tres clases: Signos de operación, signos de relación e signos de agrupación.<ref name="Aurelio"/>
=== Signos de operación ===
En álxebra verifícanse coas cantidades as mesmas operacións que en [[aritmética]]: [[suma]], [[Subtracción|resta]], [[multiplicación]], elevación a potencias e extracción de raíces, que se indican cos principais signos de aritmética excepto o signo de [[multiplicación]]. En lugar do signo × adoita empregarse un punto entre os factores e tamén se indica á multiplicación colocando os factores entre parénteses. Así ''a''⋅''b'' e (''a'')(''b'') equivale a ''a'' × ''b''.

== Notas ==
{{Listaref|30em}}

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}}
=== Bibliografía ===
* {{cita libro|nome=Carl B.|apelidos =Boyer| ligazón-autor=Carl Benjamin Boyer| título=A History of Mathematics|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye| editorial=John Wiley & Sons, Inc.| data=1991|isbn=0-471-54397-7}}
* Donald R. Hill, ''Islamic Science and Engineering'' (Edinburgh University Press, 1994).
* Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, e Borin Van Loon, ''Introducing Mathematics'' (Totem Books, 1999).
* George Gheverghese Joseph, ''The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics'' ([[Penguin Books]], 2000).
* John J O'Connor e Edmund F Robertson, [https://web.archive.org/web/20160303180029/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Indexes/Algebra.html ''History Topics: Algebra Index'']. En ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]'' ([[Universidade de St Andrews]], 2005).
* I.N. Herstein: ''Topics in Algebra''. ISBN 0-471-02371-X
* R.B.J.T. Allenby: ''Rings, Fields and Groups''. ISBN 0-340-54440-6
* [[L. Euler]]: ''[https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ Elements of Algebra]'', ISBN 978-1-899618-73-6
* {{cita libro|apelidos=Asimov|nome=Isaac|título=Realm of Algebra|url=https://archive.org/details/realmofalgebra00asim|data=1961|editorial=Houghton Mifflin|ligazón-autor=Isaac Asimov}}
=== Ligazóns externas ===
* [http://www.khanacademy.org/math/algebra Khan Academy: Conceptual videos and worked examples]
* [https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra Khan Academy: Origins of Algebra, free online micro lectures] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130509005401/http://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra |date=09 de maio de 2013 }}
* [http://algebrarules.com Algebrarules.com: An open source resource for learning the fundamentals of Algebra]
* [http://www.gresham.ac.uk/event.asp?PageId=45&EventId=620 4000 Years of Algebra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071004172100/http://www.gresham.ac.uk/event.asp?PageId=45&EventId=620 |date=04 de outubro de 2007 }}, por Robin Wilson, en [[Gresham College]], 17 de outubro de 2007 (dispoñible en MP3, MP4 e ficheiro de texto).

{{Matemáticas}}
{{Control de autoridades}}

{{ORDENAR:Alxebra}}
[[Categoría:Álxebra]]
[[Categoría:Artigos que toda Wikipedia debería ter (Ciencia)]]